参考书目
[1]陈恕行.现代偏微分方程导论(第二版).北京:科学出版社,2018.
Dirichlet问题的广义解
设为的有界区域,具有光滑的边界,讨论如下形式的椭圆型方程的边值问题
这里.系数满足对称性条件以及如下的椭圆型条件
其中是一个与无关的正常数,条件称为齐次Dirichlet条件,边值问题称为Dirichlet边值问题.
在经典理论中的解必须在中寻找,下面要寻找合适的广义函数空间,使得上述要求降低.
例(薄膜平衡问题) 考察一个平面区域上具有固定边界的薄膜平衡问题,它可以归结为求能量泛函
的极小值.
在边界上取零值的函数类中取最小值问题与Possion方程的齐次Dirichlet问题的求解等价的.事实上,设是使取极小值的元素,则对任一,
从而有
利用在中的稠密性,就得到了.反之,若满足和,则对任意在边界上取零值的,有
进而.
由于在的表达式中仅出现函数以及其一阶偏导数的平方,且由例子可知若局限于且边界值为零的函数类上寻求的极小值,未必能找到使泛函达到极小的元素.故扩大中函数的变动范围,在且边界值为零的函数类关于模完备化的空间中考虑的极值.
注意到当时,分部积分为广义函数的求导运算.故若是中使取极小值的元素,其必按广义函数意义满足,且由迹定理可知在上的迹为零.
当时, ,故将原问题的提法变为:对于,寻求,使得其按广义函数满足,这种解称为广义解.
正则性问题 若具有较高的正则性,解将有怎样的正则性?具体来说,若时, 属于怎样的空间?由嵌入定理可知,若,且时, 就具有二阶连续偏导数,此时为古典解.
边界条件也可以是非齐次的,即,这里是在上给定的一个函数.处理方法是将其转化为齐次边界条件.若在上定义,则可以延拓为函数,仍以记之,这样就将满足
第二(三)边值问题的广义解
现在讨论方程的Neumann问题,此时边界条件修改为
若,则由Green公式得到
这里是的一个双线性形式,即
故当满足时,有
对于第三边值问题而言,考虑边界条件
此时且满足边界条件的解定义为
当时,它就按迹的意义满足边界条件.