泡面头条

《简明逻辑学》：必然性和可能性：肯定是又会是什么？

作者 |（英）普里斯特

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必然性和可能性：肯定是又会是什么？

我们不仅经常声称说某事是这样的，而且声称说某事必定是这样的。我们说：“肯定会下雨”，“不会不下雨”，“必然会下雨”。

我们还有其他许多表述方法。当然，实际情况也许并非如此：情况可能如此。我们说：“明天可能会下雨”，“明天下雨是有可能的”，“明天下雨是不可能的”。如果用字母a来代替任何一个句子，逻辑学家通常会把a肯定是正确的断言用□a来表示，把a可能是正确的断言用◇a来表示。

符号□和◇被称为模态算子，因为它们表达了事物为真（必然地）或为假（可能地）的模态。这两个算子其实是相互联系的。说某事必然如此就等于说某事不如此是不可能的。也就是说，□a与﹁◇﹁a表示的意义一样。类似地，说某事如此是可能的就等于说某事为假未必正确。也就是说，◇a与﹁□﹁a表示的意义一样。因此，句子a为真是不可能的这个事实可以用不同的表达来表示，既可用﹁◇a来表示（a句表示的情况是不可能的），也可用□﹁a来表示（a句表示的情况是必然错误的）。

和我们前面所遇到的那些算子不同，符号□和◇不是真值函数。我们在第二章曾讲过，当你知道句子a的真值时，你便可以算出﹁a的真值。类似地，当你知道句子a和句子b的真值，你便可以算出析取命题a V b和合取命题a∧b的真值。但是，你无法仅凭句子a的真值就推理得出◇a的真值。

比如，我们用字母r表示句子“我明天会在七点起床”。实际上，r句是假的。但是，毫无疑问，它可能为真：因为我可以把我的闹钟设置好并早起。因此，◇r为真。为了对比，我们用字母j来表示句子“我会从床上跳出，在离地两米的高处盘旋”。和r句一样，这句话也为假。但与r句不同的是，该句甚至不可能为真。（因为）那样会违背地心引力定律。因此，◇j为假。所以，由a句的真值无法确定◇a的真值：r句和j句都为假，但◇r为真而◇a却为假。与此类似，a句的真值也决定不了□a的真值。我们现在用字母r表示句子“我明天会在八点前起床”。实际上，这句话是真的；但它不是必然为真。我可能还躺在床上。我们现在用字母j来表示句子“如果我明天早晨从床上跳起来，我就已经在运动了”。这句话也是真的，但是无法表明它可能为假。它必然为真。因此，r句和j句都为真，但其中一个句子必然为真而另一个则不是。

因此，模态算子与我们前面所讲过的一切都截然不同。它们同时非常重要而且常常令人迷惑不解。为了阐明这一点，下面引用宿命论的一个论证，这是由古希腊两大哲学家中的另一位亚里士多德提出来的。

宿命论认为凡是发生的事物必然要发生：它是不可避免的。当一个意外事故发生或者一个人死了，没有什么事情可以预防它的发生。

宿命论一直引起了一些人的兴趣。当某事出现了差错，人们便可从这种观点里找到一定的安慰：事情不可能以其他方式发生。而且，宿命论蕴涵了这样的观点——我无力改变所发生的事情，但这个观点显然是假的。如果我今天遇上了交通事故，我原先只要选择一条不同的路线就可避免事故。那么亚里士多德是如何论证的呢？该论证如下。

（请暂时忽略粗体部分，我们后面会谈到这一点。）

图6 亚里士多德（公元前384——前322），形式逻辑学的奠基人。

你可以举任何断言为例——比如，为了阐释方便，假定说，我明天会遇到一美女。我们目前也许不知道这句话是真的还是假的，但我们知道我明天要么会遇上美女要么不会遇上。假设第一种情况为真，那么，我实际上会遇上美女。如果说我会遇上美女为真，那么我就会遇上美女。换言之，我会遇上美女是必然的。我们再反过来假设，我明天实际上不会遇上美女。那么，我不会遇上美女就为真；如果真是如此，那么我就不会遇上美女。换言之，我没遇上美女是必然的。不管这两种情况中的哪一种发生了，那么它必然要发生。这就是宿命论。

人们对此有什么看法吗？要回答这个问题，我们来看一看现在对模态算子的一种标准理解吧。我们假设每一个情形s都有很多可能性，也就是说s可能有的各种情形——为了明确起见，我们假设是在不违反物理学定律情况下的各种情形。因此，如果s是我目前所在地方（澳大利亚）的情形，那么我在伦敦待了一周就是一个可能的情形，而我在半人马座阿尔法星（四个多光年之遥）待了一周则不是。17世纪哲学家和逻辑学家莱布尼茨之后的逻辑学家常常把这些可能的情形形象地称为可能世界。这样的话，◇a（a的内容可能是真的）在s情形下为真就等于a实际上在与s有关的至少一种状况下为真。□a（a的内容肯定是真的）在s情形下为真就等于a在所有与s有关的状况下都为真。这就是为什么符号□和◇不是真值函数的原因。因为a和b也许在s情形下有着相同的真值，比如说F；但是也许在与s有关的状况下却具有不同的真值。比如，a在其中一种状况（比如说s’）下为真，但b也许在什么状况下都不为真，如下图所示

这种解释给我们提供了一种应用模态算子来进行分析推理的方法。比如，请看下面这个推理：

这个推理是无效的。为了探明原因，我们假设与s有关的情形为s1和s2，其真值情况如下：

a在s1情形下为T；因此，◇a在s情形下为真。同样，b在s2情形下为T，因此，◇b在s情形下为真。但是，a∧b在相关状况下都不为真，因此， ◇（a∧b）在s情形下不为真。

相比之下，下面的推理是有效的：

因为如果前提能在s情形下为真，那么a和b 就会在所有与s有关的状况下都为真。不过，那样的话合取命题a^b在所有与s有关的状况下也都为真。换言之，□（a∧b）在s情形下为真。

在回到以上讨论对亚里士多德论证有何影响之前，我们需要简要地谈一谈我们在前文没有提到的另一个算子。我们把“如果a，那么b”写成a →b。这种形式的句子被称为条件句，我们会在下一章里多次提及。我们目前需要注意的是，条件句所涉及的主要推理如下：

（比如：“如果她有规律地外出工作，那么她就会很健康。她确实有规律地外出工作，因此，她很健康。”）现代逻辑学家通常用中世纪逻辑学家赋予它的标签来称呼这样的推理：modus ponens。从字面意义上翻译，它表示“假言推理”。（先别提问。）

现在，对于亚里士多德的论证，我们需要稍稍考虑一下条件句的形式：

如果a那么b就确实如此了。

这样的句子实际上存在歧义。它所表达的一个意思是，如果a事实上是正确的，那么b肯定正确。也就是说，如果a在我们所讨论的s情形下是正确的，那么b则在所有与s有关的情形下都是正确的。我们可将此意表达为a →□b。这样的句子会在以下话语中用到：“你不能改变过去。如果某事在过去为真，现在不可能不为真。你不能做任何事情来让它按其他方式发生：它是不可改变的。”条件句形式“如果a那么b就确实如此了”所表达的第二种意思与第一种意思截然不同。我们经常用这种文字形式来表达b由a推理而来。如果我们要说以下这样的话时就会使用这样的句子：“如果弗雷德打算离婚，那么他肯定是结了婚的。”我们不是说，如果弗雷德打算离婚的话，他的婚姻就不可改变了。我们说的是，除非你结过婚，否则你是不能离婚的。在任何情形下，你都不可能只具有其一而不同时具有另一种可能。也就是说，在任何可能的情形下，如果一个句子为真，那么另一个句子也为真。即□（a →b）是正确的。

这样的话，a →□b和□（a →b）的意义就截然不同。当然了，第一个逻辑表达式不是根据第二个推理得到的。a →b在每一种与s有关的情形下都为真并不意味着a →□b在s情形下为真。a可能在s情形下为真，而□b则不为真：b和a在某些相关的状况下也许都不为真。或者，给一个具体的反证吧：如果约翰要离婚的话，那么他是结了婚的，这必然为真；但是如果约翰要离婚的话，他必然（不可改变地）是结了婚的，这就肯定不为真了。

最后回到亚里士多德的论证上，我们来看一下我用粗体表示的那个句子：“如果说我会遇上美女为真，那么我就会遇上美女。”这就是我们刚才一直在讨论的条件句形式。因此，它存在歧义。而且，这个论证利用了这种歧义。如果a为句子“说我会遇上美女为真”，b为句子“我就会遇上（美女）”，那么粗体部分的条件句在下面的意义上是正确的：

肯定的情况是：如果说某事为真，那么这件事实际上确实如此。

但是，需要确定的是：

毕竟，论证的下一个步就是要根据“假言推理”由a推理得到□b。但是，正如我们已讨论过的，表达式2是无法由表达式1推理得到的。因此，亚里士多德的论证是无效的。另外，完全相同的问题也出现在了论证的第二部分，即条件句“如果说我不会遇上美女为真，那么我就不会遇上美女”。

这似乎是对亚里士多德论证的一个令人满意的回答。但是有一个与之相关的论证却无法轻易得到回答。再回过头看看我们曾讨论过的关于改变过去的例证。如果说某些关于过去的陈述为真，现在也必然为真，这种说法似乎是真的。现在无法将它变成假的。黑斯廷斯之战发生在1066年，现在人们无法将它改变，让它发生在1067年。因此，如果p是某个关于过去的陈述，那么p → □p。

现在来看一看某些关于未来的陈述。比如，我们还举以下断言为例：我明天会遇上美女。假设这句话为真，那么如果某人在100年前说了这句话，他说的也为真。而且即使那时没有人说这句话，如果在更早的时候有人说了这句话，他说的也仍然为真。因此，我明天会遇上美女在100年前就为真了。这个陈述（p）肯定是一个关于过去的陈述，而且由于陈述为真，所以其绝对陈述（□p）也必然为真。因此，我明天会遇上美女必然绝对为真。不过，这只是一个例证；这个推理可应用到其他任何事物上。因此，任何发生的事情必然会发生。这个宿命论论证并没有犯下前面提到的第一个论证所犯的谬误（使用同样无效的论据）。这样看来，宿命论到底是否为真呢？

◉每一个情形都与许多与之相关的可能情形相联系。

◉如果a在与s相关的每一个情形下都为真，那么□a在s情形下就为真。

◉如果a在某个与s有关的情形下为真，那么◇a在s情形下就为真。